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一、實(shí)施案例教學(xué)的意義

案例教學(xué)著眼點(diǎn)是在活動(dòng)中獲取知識(shí)，得到原理、規(guī)則，注重“做”中“學(xué)”，提高學(xué)生能力。第一，案例教學(xué)縮短了純數(shù)學(xué)情境與現(xiàn)實(shí)情境以及專業(yè)情境的差距，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)是有用的，數(shù)學(xué)來(lái)自于生活，經(jīng)濟(jì)的發(fā)展需要數(shù)學(xué)。第二，案例可以把原本抽象的概念、原理置于一定的實(shí)際情境中，讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)概念不是那么陌生、枯燥，理論不再是“空中樓閣”，從而促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)欲望的提升，主動(dòng)吸收、消化數(shù)學(xué)。第三，案例教學(xué)不僅僅是為了傳授知識(shí)，重要的是為了“用數(shù)學(xué)”。按照“必需、夠用”的原則選擇特定的案例進(jìn)行教學(xué)，改變傳統(tǒng)的“滿堂灌”模式，有利于改進(jìn)教學(xué)方法。第四，案例教學(xué)通過(guò)淺顯的、具體的、實(shí)用的案例研討，使學(xué)生得到深刻的、隱性的、靈活的知識(shí)，貼近專業(yè)和實(shí)際生活情境的案例，在潛移默化中讓學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)是解決專業(yè)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題的重要工具，數(shù)學(xué)是有用的。

二、實(shí)施案例教學(xué)的原則

經(jīng)濟(jì)管理類專業(yè)高等數(shù)學(xué)課程通常是大學(xué)低年級(jí)基礎(chǔ)課程，學(xué)生的知識(shí)、專業(yè)基礎(chǔ)和認(rèn)識(shí)能力有限。考慮到專業(yè)特點(diǎn)和學(xué)生具體的情況，在案例教學(xué)中必須遵循適量性、適應(yīng)性和適用性的原則，以保證達(dá)到理想的教學(xué)效果。適量性是指運(yùn)用案例教學(xué)的時(shí)數(shù)要合適。按照高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)目標(biāo)和內(nèi)容，教學(xué)應(yīng)以講授基本概念和訓(xùn)練基本方法為主，按照需要進(jìn)行案例選擇與設(shè)計(jì)，案例的課堂討論占用課時(shí)數(shù)應(yīng)該控制在總課時(shí)的20%以內(nèi)。適應(yīng)性是指運(yùn)用案例教學(xué)的過(guò)程中要漸進(jìn)。要對(duì)涉及到的專業(yè)概念的學(xué)習(xí)進(jìn)行總體設(shè)計(jì)，布置學(xué)生查閱資料。在布置案例問(wèn)題時(shí)，有計(jì)劃、有目的地引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用先前查閱學(xué)習(xí)過(guò)的專業(yè)概念，讓學(xué)生適應(yīng)案例教學(xué)，從而提高積極性、主動(dòng)性和創(chuàng)造性，保證案例教學(xué)的教學(xué)效果。適用性是指案例教學(xué)的案例要淺顯。案例教學(xué)的目的是通過(guò)案例幫助學(xué)生有效地消化、吸收和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，達(dá)到培養(yǎng)專業(yè)興趣和激發(fā)創(chuàng)新欲望的目的。因此，案例的選擇和設(shè)計(jì)不宜過(guò)深過(guò)難，要淺顯易懂，要啟發(fā)思維，注重運(yùn)用。

三、實(shí)施案例教學(xué)的方法

教師和學(xué)生是案例教學(xué)活動(dòng)的兩個(gè)主體，兩者的有效互動(dòng)是案例教學(xué)效果的重要條件。案例教學(xué)不同于常規(guī)教學(xué)，是通過(guò)案例設(shè)計(jì)和組織學(xué)生研究討論、撰寫(xiě)案例研究報(bào)告，實(shí)現(xiàn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、構(gòu)建知識(shí)、合力協(xié)作、提高能力的一個(gè)教學(xué)過(guò)程。實(shí)施案例教學(xué)的方法既包括教師的教法，又包括學(xué)生的學(xué)法。

1．實(shí)施案例教學(xué)的教法

實(shí)施案例教學(xué)主要是教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)組織。教學(xué)設(shè)計(jì)包括確定教學(xué)目標(biāo)、選擇設(shè)計(jì)案例、制訂課堂計(jì)劃。教學(xué)組織包括布置案例問(wèn)題、組織課堂討論、指導(dǎo)案例報(bào)告。教學(xué)目標(biāo)是教學(xué)活動(dòng)的預(yù)期結(jié)果，通常描述學(xué)生學(xué)習(xí)后能做什么以及情感態(tài)度的變化。例如，在“常微分方程”的案例教學(xué)設(shè)計(jì)中，我們擬定的教學(xué)目標(biāo)是:能通過(guò)查閱資料獲得案例中相關(guān)的經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)概念的定義;能將案例問(wèn)題用“常微分方程”的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述出來(lái);能提出運(yùn)用“常微分方程”的數(shù)學(xué)知識(shí)和求解方法解決案例問(wèn)題的方案和建議;能歸納總結(jié)案例討論的各種意見(jiàn)，寫(xiě)出具有一定水平的案例報(bào)告;了解“常微分方程”的專業(yè)運(yùn)用。選擇設(shè)計(jì)案例要遵循適用性原則，促進(jìn)教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。

案例涉及的專業(yè)知識(shí)應(yīng)是淺顯的、基本的和普遍的。案例表達(dá)要體現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，如具體列出要求學(xué)生做什么、如何做。還要注意使案例具有真實(shí)性、趣味性和生動(dòng)性，以使學(xué)生獲得處于案例情境的真實(shí)感，增強(qiáng)案例研習(xí)的體驗(yàn)效果。制訂課堂計(jì)劃應(yīng)做到對(duì)案例有全面的把握，了解學(xué)生小組討論的情況，計(jì)劃好學(xué)生發(fā)言次序，預(yù)測(cè)可能出現(xiàn)的問(wèn)題，設(shè)計(jì)好解決方案，準(zhǔn)備好課堂討論的總結(jié)提綱。課堂計(jì)劃應(yīng)包括討論主題、時(shí)間分配、發(fā)言學(xué)生人選、預(yù)測(cè)問(wèn)題解決方案和總結(jié)提綱。討論主題既可以根據(jù)案例設(shè)定，也可以根據(jù)案例分析的步驟設(shè)定。布置案例問(wèn)題要把握好適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)，提出課前分組討論的明確要求，讓學(xué)生了解課堂討論的方式并推選好小組發(fā)言代表人選。教師宜盡早布置教學(xué)案例，以使學(xué)生有充足的時(shí)間查閱相關(guān)資料，理解案例問(wèn)題，做好案例討論的準(zhǔn)備。組織課堂討論是案例教學(xué)的中心環(huán)節(jié)。

教師要做好案例討論的組織者和引導(dǎo)者，讓學(xué)生真正成為積極的參與者與分享者。教師要把握好課堂討論的節(jié)奏和方向，通過(guò)即時(shí)的評(píng)論使課堂教學(xué)討論緊緊圍繞主題，避免偏離“航道”。教師的評(píng)論要以鼓勵(lì)、表?yè)P(yáng)為主，激發(fā)學(xué)生的參與熱情，讓學(xué)生體驗(yàn)成功的快樂(lè)。課堂討論的總結(jié)要做到系統(tǒng)化、有條理和具有啟發(fā)性。指導(dǎo)學(xué)生撰寫(xiě)案例報(bào)告形成案例教學(xué)的成果是案例教學(xué)的關(guān)鍵，也是案例教學(xué)的難點(diǎn)。教師要向?qū)W生提供案例報(bào)告的寫(xiě)作提綱和案例報(bào)告的范文，讓學(xué)生在模仿中逐步學(xué)會(huì)創(chuàng)造。教師要和學(xué)生交流案例報(bào)告的寫(xiě)作情況，不斷地提出修改建議，讓學(xué)生在不斷完善的案例報(bào)告中體驗(yàn)取得進(jìn)步的成就感。

2．實(shí)施案例教學(xué)的學(xué)法

實(shí)施案例教學(xué)的學(xué)法主要包括案例理解和案例研究。案例理解包括明確學(xué)習(xí)目的、查閱相關(guān)資料、做好討論準(zhǔn)備。案例研究包括參與案例討論、課后總結(jié)反思、撰寫(xiě)案例報(bào)告。教師指導(dǎo)學(xué)生做好討論準(zhǔn)備是做好案例教學(xué)的重要保證。教師要引導(dǎo)學(xué)生在討論前思考這樣一些問(wèn)題:案例涉及的數(shù)學(xué)概念有哪些?這些概念的定義是什么?在案例問(wèn)題解決中如何運(yùn)用這些概念?從案例解決中認(rèn)識(shí)到需要什么新的數(shù)學(xué)概念和方法?學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)概念和方法的意義是什么?如何求解案例問(wèn)題?案例的分析求解結(jié)果合理嗎?如何改進(jìn)案例模型?等等。學(xué)生參與案例討論要積極主動(dòng)發(fā)言。為鼓勵(lì)學(xué)生積極參與案例討論，有效制止學(xué)生消極旁觀，教師應(yīng)采取有效的獎(jiǎng)懲措施。如小組討論以貢獻(xiàn)度大小上報(bào)排名，作為平時(shí)成績(jī)的重要依據(jù);課堂討論的發(fā)言人平時(shí)成績(jī)給予加分獎(jiǎng)勵(lì)等。課后總結(jié)反思是學(xué)生對(duì)案例理解和討論結(jié)果的提升過(guò)程。教師要引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)自己在案例理解和研討過(guò)程中的表現(xiàn)和收獲，反思各種意見(jiàn)的優(yōu)點(diǎn)和缺陷，取長(zhǎng)補(bǔ)短，提高認(rèn)識(shí)水平。案例報(bào)告是學(xué)生參與案例研討的重要成果。教師應(yīng)要求學(xué)生嚴(yán)格按照規(guī)范的格式書(shū)寫(xiě)，指導(dǎo)學(xué)生參考范文進(jìn)行寫(xiě)作，及時(shí)解決學(xué)生寫(xiě)作中出現(xiàn)的問(wèn)題。

四、“常微分方程”教學(xué)案例的解析

“常微分方程”是經(jīng)濟(jì)管理類專業(yè)高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點(diǎn)。傳統(tǒng)的教學(xué)中，通常會(huì)介紹各種類型一階、二階常系數(shù)線性微分方程的求解，學(xué)生由于不明來(lái)由，會(huì)產(chǎn)生一種錯(cuò)覺(jué)，認(rèn)為這部分內(nèi)容就是一些計(jì)算，無(wú)實(shí)際用處。其實(shí)不然，經(jīng)濟(jì)學(xué)中有許多運(yùn)用微分方程分析問(wèn)題的案例，通過(guò)“常微分方程”教學(xué)案例的解析有助于我們準(zhǔn)確把握教學(xué)案例的原則與方法。我們?cè)谝粋€(gè)學(xué)生人數(shù)為70人的教學(xué)班級(jí)的常微分方程的案例教學(xué)中選擇和設(shè)計(jì)了如下5個(gè)案例。案例一:某商品的需求量x對(duì)價(jià)格p的彈性為－pln3，若該商品的最大需求量為1200(即p=0時(shí)，x=1200)(p的單位為元，x的單位為公斤)，試求需求量x與價(jià)格p的函數(shù)關(guān)系，并求當(dāng)價(jià)格為1元時(shí)市場(chǎng)上對(duì)該商品的需求量。案例二:若國(guó)民經(jīng)濟(jì)總值N(單位:元)隨時(shí)間t(單位:年)的變化率為7%，問(wèn)多少年后可以使國(guó)民經(jīng)濟(jì)總值翻兩番?案例三:假設(shè)某產(chǎn)品生產(chǎn)的邊際成本函數(shù)MC(單位:元)等于總成本函數(shù)TC(單位:元)的倒數(shù)與產(chǎn)品數(shù)量Q(單位:件)的平方的乘積，若生產(chǎn)3件產(chǎn)品時(shí)總成本是273元，求總成本函數(shù)TC關(guān)于產(chǎn)品數(shù)量Q的關(guān)系式。案例四:在一個(gè)池塘內(nèi)養(yǎng)魚(yú)，因?yàn)闂l件限制最多只能養(yǎng)1000條魚(yú)，已知魚(yú)的數(shù)量y(條)隨時(shí)間t(月)的變化率與魚(yú)數(shù)y和1000－y的乘積成正比。現(xiàn)池塘內(nèi)放養(yǎng)100條魚(yú)，3個(gè)月后池塘內(nèi)有250條魚(yú)，求:(1)數(shù)量y(條)隨時(shí)間t(月)變化的表達(dá)式y(tǒng)=y(t);(2)6個(gè)月后池塘中魚(yú)的數(shù)量。案例五:設(shè)某種商品在某地區(qū)進(jìn)行推銷，最初廠家策劃宣傳活動(dòng)以打開(kāi)銷路。若商品確實(shí)受歡迎，則購(gòu)買(mǎi)人數(shù)逐漸增加，銷售速率逐漸增大。已知該地區(qū)潛在消費(fèi)總量有限，當(dāng)購(gòu)買(mǎi)人數(shù)接近潛在消費(fèi)總量時(shí)，銷售速率逐漸下降，此時(shí)廠家就應(yīng)該更新商品了。假設(shè)消費(fèi)者總量為N，任一時(shí)刻t已出售的商品總量為x(t)，試建立x(t)所應(yīng)滿足的微分方程;并分析x(t)的性態(tài)，給出商品的宣傳和生產(chǎn)策略。

上述案例涉及到的經(jīng)濟(jì)學(xué)概念有需求價(jià)格彈性、國(guó)民經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率、邊際成本等，這些概念都可以用高等數(shù)學(xué)中學(xué)過(guò)的導(dǎo)數(shù)來(lái)描述。在講完導(dǎo)數(shù)的定義后，教師可布置學(xué)生查閱這些概念的定義，只有理解上述概念，才能建立案例的數(shù)學(xué)模型。案例涉及到的數(shù)學(xué)概念有:微分方程、微分方程的階數(shù)、微分方程的解、通解和特解。學(xué)生通過(guò)課前預(yù)習(xí)，結(jié)合案例的數(shù)學(xué)模型，初步了解了上述概念。由于學(xué)生已經(jīng)有了一元函數(shù)微積分的基礎(chǔ)，請(qǐng)學(xué)生課前思考是用微分的方法還是積分的方法來(lái)求解案例的數(shù)學(xué)模型。課前將學(xué)生分成5個(gè)小組，每個(gè)小組在課前完成1個(gè)指定案例的分析和求解。課上派代表交流發(fā)言，回答其他小組學(xué)生提出的問(wèn)題。教師在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候給予引導(dǎo)，最后總結(jié)。課后以各小組交換案例的方式布置學(xué)生寫(xiě)案例分析報(bào)告，以檢測(cè)學(xué)生參與案例討論的效果。

五、總結(jié)

通過(guò)案例所涉及的微分方程解的分析和講解，讓高等數(shù)學(xué)融入到專業(yè)課的教學(xué)中。總之，適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行案例教學(xué)，既能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，拓寬學(xué)生的視野，又能強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維及數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。基于應(yīng)用型人才的培養(yǎng)目標(biāo)，案例教學(xué)將是經(jīng)濟(jì)管理類專業(yè)高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)模式的發(fā)展趨勢(shì)。

作者：季紅蕾 黃素珍 單位：鹽城工學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部