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分類討論的數(shù)學(xué)思想方法范文1
關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)思想方法 高中數(shù)學(xué) 函數(shù)章節(jié) 應(yīng)用策略
在高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，有助于學(xué)生構(gòu)建完善的知識(shí)體系，提高學(xué)生解決問題的能力。文中根據(jù)高中數(shù)學(xué)教學(xué)例題，對(duì)高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)過程中滲透分類討論、化歸、數(shù)形結(jié)合等思想，不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，為日后學(xué)習(xí)復(fù)雜的知識(shí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
一、數(shù)學(xué)思想方法的涵義及其重要意義
數(shù)學(xué)思想方法是指針對(duì)某一數(shù)學(xué)問題的分析及探索過程，形成最佳的解決問題的思想，也為準(zhǔn)確、客觀分析、解決數(shù)學(xué)問題提供合理、操作性強(qiáng)的方法。函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，也是考試的重點(diǎn)。高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中遇到函數(shù)的題目，復(fù)習(xí)時(shí)必須有針對(duì)性地了解高考常見命題和要點(diǎn)，重點(diǎn)進(jìn)行復(fù)習(xí)，做到心中有數(shù)。將數(shù)學(xué)思想方法當(dāng)做數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)也是新課標(biāo)提出的，新課標(biāo)規(guī)定在教學(xué)過程中，要重視滲透數(shù)學(xué)思想方法。高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法是推進(jìn)全面素質(zhì)教育的重要手段。目前，從歷年高考的試題來看，高考考試的重點(diǎn)是查看學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的靈活應(yīng)用及準(zhǔn)確性。數(shù)學(xué)科目考查的關(guān)鍵點(diǎn)是學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法及解題能力。因此，高中函數(shù)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法發(fā)揮著重要作用。
二、高中數(shù)學(xué)函數(shù)章節(jié)中應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法的策略
（一）函數(shù)與方程思想的應(yīng)用
函數(shù)與方程雖然是兩個(gè)不同的概念，但它們之間卻存在著密切聯(lián)系，方程f（x）=0的根就是函數(shù)y=f（x）的圖像與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。通過方程進(jìn)行研究，許多有關(guān)方程的問題可以用函數(shù)的方法解決。反之，許多函數(shù)問題也可以用方程的方法解決。
解析：這是一道較典型的函數(shù)與方程例題，老師根據(jù)數(shù)學(xué)思想的要求傳授學(xué)生解題方法，也可以依據(jù)這一道例題對(duì)其他相關(guān)例題的解題方法進(jìn)行概括性講授，確保學(xué)生遇到這類題目可以快速、準(zhǔn)確地找出解題方法。
本例題構(gòu)造出函數(shù)g（x），再借助函數(shù)零點(diǎn)的判定定理解題非常容易。這道例題展現(xiàn)出函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想，實(shí)際解題時(shí)我們一般會(huì)構(gòu)造一個(gè)比較熟悉的模式，從而將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為所熟悉的問題進(jìn)行思考、解答。另外，我們還可以利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)，用二分法求方程近似解的方法，從中體會(huì)函數(shù)與方程之間的聯(lián)系，對(duì)拓展學(xué)生學(xué)習(xí)的深度和廣度具有重要意義。
（二）數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用
數(shù)形結(jié)合作為數(shù)學(xué)解題中比較常見的思想方法，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。
解析：數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要思想之一，主要包括“以形助數(shù)、以數(shù)輔形”這兩方面的內(nèi)容，求解幾何問題也是研究數(shù)形結(jié)合的重要手段。同時(shí)，在求解方程解的個(gè)數(shù)及函數(shù)零點(diǎn)問題中也能應(yīng)用。以形助數(shù)和以數(shù)輔形可以讓繁雜的問題變得更直觀、形象，增強(qiáng)數(shù)學(xué)問題的嚴(yán)謹(jǐn)性和規(guī)范性。因此，某些問題從數(shù)量關(guān)系觀察無法入手解題時(shí)，如果將數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)閳D形，運(yùn)用圖形的性質(zhì)規(guī)律更直觀地描述數(shù)量之間的關(guān)系，從而將復(fù)雜的問題變得簡(jiǎn)單。因此，對(duì)部分抽象的函數(shù)題目，數(shù)學(xué)教師應(yīng)正確引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，使得解題思路峰回路轉(zhuǎn)，變得清晰、簡(jiǎn)單。
（三）化歸思想的應(yīng)用
化歸思想是指將抽象、復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單、熟知、直觀的數(shù)學(xué)問題，提高解決問題的速度和準(zhǔn)確性。函數(shù)章節(jié)中多數(shù)問題的解決都離不開化歸思想的應(yīng)用，其中化歸思想是分析、解決問題的基本思想，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。
解析：這一例題解決過程將x0展現(xiàn)出化歸的數(shù)學(xué)思想。化歸是一種最基礎(chǔ)、最重要的數(shù)學(xué)思想方法，高中數(shù)學(xué)老師必須熟悉化歸思想，有意識(shí)地利用化歸思想解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，并將這種思想滲透到學(xué)生的思想意識(shí)中，有利于增強(qiáng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的應(yīng)變能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。
（四）分類討論思想的應(yīng)用
分類討論思想就是依據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的共同點(diǎn)與不同點(diǎn)，把豎向?qū)ο髣澐殖啥鄠€(gè)種類實(shí)施求解的一種數(shù)學(xué)思想。高中數(shù)學(xué)函數(shù)章節(jié)教學(xué)中使用分類討論思想方法，有利于學(xué)生形成縝密、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S模式，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)品質(zhì)。解決數(shù)學(xué)函數(shù)問題時(shí)，如果無法從整體角度入手解決問題，就可以從局部層面解決多個(gè)子問題，從而有效解決整體問題。
分類討論就是對(duì)部分?jǐn)?shù)學(xué)問題，當(dāng)所給出的對(duì)象不能展開統(tǒng)一研究時(shí)，必須依據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的特點(diǎn)，把問題對(duì)象劃分為多個(gè)類別，隨之逐類展開討論和研究，從而有效解決問題。高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中，經(jīng)常根據(jù)函數(shù)性質(zhì)、定理、公式的限制展開分類討論，問題內(nèi)的變量或包含需要討論的參數(shù)時(shí)，必須實(shí)施分類討論。高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，必須循序漸進(jìn)地滲透分類思想，在潛移默化的情況下提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力和解決問題的能力。
解析：本例題可以借助二次函數(shù)圖像解決，展現(xiàn)出分類討論的思想，討論對(duì)稱軸x=a與區(qū)間[0，2]的位置關(guān)系。對(duì)復(fù)雜的問題進(jìn)行分類和整合時(shí)，分類標(biāo)準(zhǔn)與增設(shè)的已知條件相等，完成有效的增設(shè)，把大問題轉(zhuǎn)換成小問題，優(yōu)化解題思路，降低解決問題的難度。分類討論教學(xué)方法要求將各類情況各種結(jié)果考慮其中，依次研究各類情況下可能出現(xiàn)的結(jié)果。求解不等式、函數(shù)和導(dǎo)數(shù)是考查分類討論思想的難點(diǎn)，為確保突出重點(diǎn)，日常教學(xué)中必須對(duì)學(xué)生滲透分類討論思想方法。
三、結(jié)語
高中數(shù)學(xué)函數(shù)章節(jié)是整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要部分，對(duì)其日后學(xué)習(xí)高等函數(shù)發(fā)揮著重要作用。高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)涵蓋多種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)思想方法是解決數(shù)學(xué)問題的鑰匙和重要工具，因此數(shù)學(xué)老師必須對(duì)函數(shù)實(shí)施合理教學(xué)，讓學(xué)生更全面地掌握數(shù)學(xué)思想方法，從而提高學(xué)生的綜合思維能力。
參考文獻(xiàn)：
分類討論的數(shù)學(xué)思想方法范文2
所謂數(shù)學(xué)思想，就是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)．所謂數(shù)學(xué)方法，是解決數(shù)學(xué)問題的根本程序，是數(shù)學(xué)思想的具體反映．運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問題的過程是對(duì)解題方法感性認(rèn)識(shí)的不斷積累過程，當(dāng)這種積累量達(dá)到一定程度時(shí)就產(chǎn)生了質(zhì)的飛躍，數(shù)學(xué)方法就上升為數(shù)學(xué)思想．有人把數(shù)學(xué)知識(shí)體系形容為一座宏偉大廈，而這座大廈是按照一幅構(gòu)思巧妙的藍(lán)圖建筑起來的，如果把數(shù)學(xué)方法看作是建筑這座大廈時(shí)的施工手段，那么這張藍(lán)圖就相當(dāng)于數(shù)學(xué)思想．總之，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)的行為，兩者密切相關(guān)，沒有本質(zhì)上的區(qū)別，因此，通常把它們統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)思想方法．
二、數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性
數(shù)學(xué)思想方法是從數(shù)學(xué)內(nèi)容及數(shù)學(xué)知識(shí)形成過程中提煉出來的精髓，是數(shù)學(xué)知識(shí)的升華，是將數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)能力的橋梁．初中數(shù)學(xué)思想方法的教育教學(xué)，是培養(yǎng)和提高學(xué)生綜合素質(zhì)和個(gè)性發(fā)展的重要內(nèi)容．《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》突出強(qiáng)調(diào)：“在教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)好概念的基礎(chǔ)上掌握數(shù)學(xué)的規(guī)律（包括法則、性質(zhì)、公式、公理、定理、數(shù)學(xué)思想和方法）．[1]”因此，開展數(shù)學(xué)思想方法教育應(yīng)作為課改中所必須把握的教學(xué)要求．
中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)涵蓋了辯證思想的理念，反映出數(shù)學(xué)基本概念和各知識(shí)點(diǎn)之間的相互關(guān)系，而聯(lián)結(jié)這種關(guān)系的正是抽象的數(shù)學(xué)思想方法．?dāng)?shù)學(xué)思想方法不僅對(duì)數(shù)學(xué)思維活動(dòng)、數(shù)學(xué)審美活動(dòng)起著指導(dǎo)性的導(dǎo)向作用，而且對(duì)個(gè)體的世界觀、方法論產(chǎn)生深刻影響，從而形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果廣泛的正面遷移，甚至包括從數(shù)學(xué)領(lǐng)域向非數(shù)學(xué)領(lǐng)域的遷移，實(shí)現(xiàn)思維能力和思想品質(zhì)的飛躍．
可見，數(shù)學(xué)教育教學(xué)中，不應(yīng)只停留在數(shù)學(xué)知識(shí)的簡(jiǎn)單傳授，應(yīng)重視知識(shí)的產(chǎn)生過程，以及相關(guān)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，體現(xiàn)知識(shí)結(jié)構(gòu)層次和內(nèi)在規(guī)律，突出運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的思維活動(dòng)，使各部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)融合成有機(jī)的整體，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析問題、解決問題的習(xí)慣與能力.《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確提出開展數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)要求，旨在引導(dǎo)學(xué)生去把握數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的核心和靈魂，因此，在數(shù)學(xué)教育教學(xué)必須充分利用可利用的時(shí)機(jī)進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的滲透與教學(xué).
三、常見的數(shù)學(xué)思想方法
初中數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含著大量的數(shù)學(xué)思想方法，其中最基本的數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)形結(jié)合思想，分類討論思想、化歸轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)方程思想等，突出這些基本思想方法，就相當(dāng)于抓住了初中數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓．
1．?dāng)?shù)形結(jié)合思想：數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，其應(yīng)用廣泛，靈活巧妙．“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形無數(shù)時(shí)難入微”是我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授的名言，是對(duì)數(shù)形結(jié)合的作用進(jìn)行了高度的概括 [2]．在教學(xué)概念、定律、定理及公式中，利用數(shù)形結(jié)合思想方法，可以借助圖形直觀性，使抽象變具體，模糊變清晰，加深記憶印象和理解掌握；在解題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法，可使降低問題解決的難度，還能從圖形中找到有創(chuàng)意的解題思路．
2．分類討論的思想：分類討論思想是根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對(duì)象劃分為幾種不同種類加以認(rèn)識(shí)與解決的一種思維方式，在數(shù)學(xué)上叫做分類討論思想．分類時(shí)要做到不重不漏．例如對(duì)于有理數(shù)加法法則，如果沒有分類討論思想，教學(xué)任務(wù)不僅難于完成，要想認(rèn)識(shí)它也是不可能的．同樣，在解題中，運(yùn)用分類討論思想可使一些無從下手的問題迎刃而解．例如，化簡(jiǎn)：a＋|a－1|，如果不使用分類討論，那就無法化簡(jiǎn)，而運(yùn)分類討論，則易得當(dāng)a≥1時(shí)，a＋|a－1|＝a＋a－1＝2a－1；當(dāng)a≤1時(shí)，a＋|a－1|＝a－（a－1）＝1．
3．轉(zhuǎn)化化歸思想：轉(zhuǎn)化化歸思想是指將一種數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化化歸為另一種數(shù)學(xué)問題．?dāng)?shù)學(xué)解題過程事實(shí)上就是一系列轉(zhuǎn)化的過程，處處體現(xiàn)出轉(zhuǎn)化化歸思想，如化繁為簡(jiǎn)、化難為易，化未知為已知，化高次為低次，化分式為整式，化陌生為熟知等，轉(zhuǎn)化化歸思想是解決問題的一種最基本的思想．在教學(xué)中，首先要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到常用的很多數(shù)學(xué)方法實(shí)質(zhì)就是轉(zhuǎn)化的方法，從而確信轉(zhuǎn)化是可能的，而且是必須的，有轉(zhuǎn)化就有成功的希望．在教材中不乏轉(zhuǎn)化化歸思想方法的運(yùn)用，例如多邊形內(nèi)角和公式的推導(dǎo)，就是通過轉(zhuǎn)化化歸為三角形的內(nèi)角和問題加以解決的．
分類討論的數(shù)學(xué)思想方法范文3
關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)教學(xué)分類討論思想方法
在解答高中數(shù)學(xué)題時(shí)，有些學(xué)生缺少分類討論的意識(shí)，解題能力水平較低，常常出現(xiàn)一道題解到某一步時(shí)，沒有接下來的解題思路，解題思維受限，而分類討論思想方法則能夠讓這道題目由大變小，將其分解，在得出答案后再把過程合并.學(xué)生通過合、分、合的方式，降低了問題的難度，擴(kuò)大解題思路，提高了解題能力.
一、在高中數(shù)學(xué)教W中運(yùn)用分類討論思想方法
的重要性
1.明確運(yùn)用的原因.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用分類討論思想方法時(shí)，教師要明確分類的原因，才能化整為零，完成題目的解答.其原因包括以下幾點(diǎn)：教材中一些抽象的概念、定理等內(nèi)容的給出；課本中涉及函數(shù)、方程等內(nèi)容的知識(shí)點(diǎn)，讓參數(shù)值“質(zhì)變”；由于幾何圖形的變化，引發(fā)出多個(gè)問題的結(jié)果；特別的排列組合方式；等等.
2.掌握正確的分類討論方法.要想合理分解問題，就要按照固定的步驟和標(biāo)準(zhǔn)，不可重復(fù)和遺漏.正確的分類討論法必須遵循以下原則：確定分類標(biāo)準(zhǔn)；討論的對(duì)象不可重復(fù)，不可遺漏；如果要對(duì)多個(gè)對(duì)象分類討論，要合理劃分層次，每個(gè)層次都要有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn).
3.注意分類結(jié)果的整合.分類討論思想有很強(qiáng)的邏輯性，解答這些問題時(shí)必須全面分析，運(yùn)用邏輯推理能力和相關(guān)技巧.在運(yùn)用分類討論思想方法的過程中，要分析對(duì)象是否需要分類討論，如果可以用整體的解題思路分析對(duì)象，就不要使用分類討論，以免增加解題步驟.
二、在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用分類討論思想方法
1.在函數(shù)中運(yùn)用.在算式中包含參數(shù)的函數(shù)計(jì)算，參數(shù)值一旦發(fā)生變化，會(huì)直接影響最后計(jì)算的答案，讓其發(fā)生質(zhì)變.在這類問題的解答中，必須進(jìn)行分類討論，讓問題簡(jiǎn)單化，快速接觸問題.比如，函數(shù)y=x2-3x，x∈[-3，a]，則函數(shù)的最小值g（a）=.在思考這道題時(shí)，學(xué)生首先想到利用對(duì)稱軸，即x=1.5.但x=1.5可能超出題目給出的區(qū)間范圍[-3，a].這就要求學(xué)生確定題目的性質(zhì)，以便在后面的討論中合理分層，明確使用的參數(shù).分解過程如下：如果-3
2.在概率中運(yùn)用.在解答概率問題時(shí)，學(xué)生可以運(yùn)用分類討論思想方法.需要注意，在解題過程中，必須明確這道題目給出的信息及要求，再進(jìn)行分類討論，從而得出答案.比如，給出一個(gè)集合I ={1，3，5，7，9}，要求選擇 I集合中的非空子集A、B，讓集合B最小的數(shù)字大于A中最大的數(shù)字，共有幾種方法？由題目給出的條件可以知道：子集A、B都是非空子集；子集B中最小的數(shù)字大于A中最大的數(shù)字.首先，子集B中3是第一個(gè)數(shù)字，即最小，那么子集A只有一個(gè)選擇，即A={1}，這時(shí)子集B共有8種方法選擇數(shù)字，5、7、9這三個(gè)數(shù)字可以在其子集中，也可不在其子集中.其次，子集B中5是第一個(gè)數(shù)字，即最小，子集A有三種選擇，分別是{1}、{3}、{1，3}，此時(shí)子集B可以有四種選擇方法，7和9兩個(gè)數(shù)字可以要，也可舍棄.接著，子集B中7是第一個(gè)數(shù)字，子集A有7種選擇方法，即{1}、{3}、{1，3}…{1，3，5}，子集B有兩種選擇，即數(shù)字8在子集B中，或不在子集B中.最后，子集B中，9是第一個(gè)數(shù)字，此時(shí)子集A共有15種選擇，即{1}、{1，3}、{1，3，5}、{1，3，5，7}，但子集B只有唯一一種選擇，即B={9}.通過分層討論，得出1×8+3×4+7×2+15×1=49，即共有49種分法可以實(shí)現(xiàn)這一條件.
總之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要改變教學(xué)觀念，運(yùn)用分類討論思想方法，幫助學(xué)生掌握解題技巧，提高學(xué)生的解題水平，拓展學(xué)生的思維模式，促使學(xué)生形成數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，讓學(xué)生的解題思路更加嚴(yán)謹(jǐn)，并學(xué)會(huì)靈活應(yīng)變.
參考文獻(xiàn)
王艷青，代欽.高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的分類討論策略[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)（教育科學(xué)版），2011，12.
分類討論的數(shù)學(xué)思想方法范文4
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想；素質(zhì)教育
數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法是不同的。數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)理論與內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，它直接支配著數(shù)學(xué)的實(shí)踐活動(dòng)。數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)活動(dòng)過程的途徑、程序、手段，它具有過程性、層次性和可操作性等特點(diǎn)。但是，兩者又互相支撐、相互彌補(bǔ)。因?yàn)閿?shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)方法的靈魂，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的表現(xiàn)形式和得以實(shí)現(xiàn)的手段。所以，我們數(shù)學(xué)人常說“數(shù)學(xué)思想方法”。
在教學(xué)過程中數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)的隱性知識(shí)系統(tǒng)，只有出現(xiàn)在數(shù)學(xué)教材中重要的法則、公式、性質(zhì)、定理、判定才是數(shù)學(xué)教學(xué)的顯性知識(shí)系統(tǒng)，因?yàn)樵诮滩闹兄荒芸吹揭恍┙Y(jié)論，許多例題的巧妙處理，而看不到由特殊實(shí)例的觀察、試驗(yàn)、分析、歸納、抽象概括或探索推理的心智活動(dòng)過程。如果我們?cè)诮虒W(xué)中，只依照課本的安排，沿襲從概念、公式到例題、練習(xí)這一傳統(tǒng)的教學(xué)過程，即使教師講的再深再透，學(xué)生要想記住結(jié)論，掌握解題的類型和方法，學(xué)生也只能是通過“記憶”來完成。實(shí)質(zhì)上解題關(guān)鍵在于找到合適的解題思路，數(shù)學(xué)思想方法就是幫助學(xué)生構(gòu)建解題思路的指導(dǎo)思想。因此，向?qū)W生滲透一些基本的數(shù)學(xué)思想方法，是培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題能力的重要途徑。因此，在課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法尤為重要。
數(shù)學(xué)知識(shí)本身固然是重要的，但真正對(duì)學(xué)生以后的學(xué)習(xí)、生活和工作長(zhǎng)期起作用，并使其終生受益的是數(shù)學(xué)思想方法。初中數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)是全面提高學(xué)生素質(zhì)，其中最重要的因素是思維素質(zhì)，而數(shù)學(xué)思想方法就是增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)觀念，形成良好思維素質(zhì)的關(guān)鍵。如果將學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)看作一個(gè)坐標(biāo)系，那么數(shù)學(xué)知識(shí)、技能就好比橫軸上的因素，而數(shù)學(xué)思想方法就是縱軸的內(nèi)容。淡化或忽視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，不僅不利于學(xué)生從縱橫兩個(gè)維度上把握數(shù)學(xué)學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)，也必將影響其能力的發(fā)展和數(shù)學(xué)素質(zhì)的提高。
初中數(shù)學(xué)，涉及的數(shù)學(xué)思想方法很多，想把那么多的數(shù)學(xué)思想方法滲透給學(xué)生是不現(xiàn)實(shí)的。下面我介紹三種初中數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的數(shù)學(xué)思想方法，掌握好這些方法對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高有很好的促進(jìn)作用。
一、轉(zhuǎn)化思想
轉(zhuǎn)化思想是指在解數(shù)學(xué)問題時(shí)，對(duì)當(dāng)前的問題感到生疏困惑時(shí)，可以把它進(jìn)行變換，把問題化繁為簡(jiǎn)、化難為易、化生疏為熟悉，從而使問題得以解決的思想方法。它是解決新問題獲得新知識(shí)的重要思想，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用很多。例如，七年級(jí)下冊(cè)第七章中多邊形及其內(nèi)角和性質(zhì)的得出要添加輔助線轉(zhuǎn)化成三角形內(nèi)角和問題加以解決。八年級(jí)下冊(cè)第十九章《梯形》的教學(xué)，常常利用輔助線將梯形問題轉(zhuǎn)化成三角形或四邊形問題加以解決。再如，一元二次方程的解法和二元一次方程組的解法，都需要降次或消元將其轉(zhuǎn)化為一元一次方程，進(jìn)而求一元二次方程和二元一次方程組的解；分式方程需去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，根據(jù)整式方程的解法來求解。另外，數(shù)學(xué)中還經(jīng)常涉及實(shí)際生活中的問題，需要利用轉(zhuǎn)化思想化為數(shù)學(xué)問題來求解，如：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺。如果把這跟蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面。這個(gè)水池的深度與這跟蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度分別是多少？解此題時(shí)，需要利用轉(zhuǎn)化思想將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成為數(shù)學(xué)問題。
二、分類討論思想
在數(shù)學(xué)中，根據(jù)研究對(duì)象的性質(zhì)差異，分別對(duì)各種不同的情況予以分析的思想方法叫分類討論。分類討論思想在解題中的運(yùn)用也很廣泛。例如，一元二次方程的一些題目的解決方法可以利用分類討論思想。
例1：求方程a2x2+（a+1）x+■=0的取值范圍。
分析：因?yàn)檫@里并沒有指明是哪類方程，所以字母系數(shù)的取值范圍可以導(dǎo)致既可以是二次方程，也可以是一次方程，因此要分類討論。字母系數(shù)的取值范圍問題是否要討論，要看清題目的條件。一般設(shè)問方式有兩種（1）前置式，即“二次方程”；（2）后置式，即“兩實(shí)數(shù)根”。都能說明是二次方程，不必討論，但切不能忽視二次項(xiàng)系數(shù)的要求。本題根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)是否為零加以分類討論。
在進(jìn)行等腰三角形的教學(xué)時(shí)通常考慮分類，因?yàn)椴粌H等腰三角形分類，而且等腰三角形的邊分兩類：腰和底邊；等腰三角形的角分兩類：頂角和底角。
例2：王叔叔家有一塊等腰三角形的菜地，腰長(zhǎng)為40米，一條筆直的水渠從菜地穿過，這條水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿過菜地部分的長(zhǎng)為15米（水渠的寬不計(jì)），請(qǐng)你計(jì)算這塊等腰三角形菜地的面積。
分析：本題未能區(qū)分三解形的頂角是銳角的還是鈍角，因此，需要我們分類討論來求出其面積。
三、數(shù)形結(jié)合思想
數(shù)形結(jié)合與數(shù)形轉(zhuǎn)化的目的是為了發(fā)揮形的生動(dòng)性和直觀性，發(fā)揮數(shù)的思路的規(guī)范性與嚴(yán)密性，兩者相輔相成，揚(yáng)長(zhǎng)避短。教學(xué)中，以數(shù)出形，以形輔數(shù)的數(shù)形結(jié)合思想，可以使問題直觀化、形象化，有利加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的識(shí)記和理解。
數(shù)形結(jié)合思想是充分利用圖形把數(shù)量關(guān)系形象地表示出來。即通過作一些如線段圖、樹形圖、長(zhǎng)方形面積圖或集合圖來幫助學(xué)生正確理解數(shù)量關(guān)系，使問題簡(jiǎn)明直觀。
例3：在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，小明為了求■+■+■+■+……■的值（結(jié)果用n表示），設(shè)計(jì)如圖1所示的幾何圖形。
（1）請(qǐng)你利用這個(gè)幾何圖形求■+■+■+■+……■的值為 。
（2）請(qǐng)你利用圖2，再設(shè)計(jì)一個(gè)能求■+■+■+■+……■的值的幾何圖形。
分析：直接求代數(shù)式■+■+■+■+……■的值難度很大，而借助幾何圖形不難發(fā)現(xiàn)其結(jié)論.該題很好地體現(xiàn)了數(shù)形思想。
解：（1）1-■。
（2）如圖3中的幾種畫法，圖形正確。
利用數(shù)形結(jié)合的基本思想，要注意把數(shù)和形結(jié)合起來考察，斟酌問題的具體情形，把圖形性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題，或者把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問題，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化，化難為易，獲得簡(jiǎn)便易行的成功方案。
分類討論的數(shù)學(xué)思想方法范文5
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想方法；數(shù)學(xué)教學(xué)
數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法是數(shù)學(xué)大廈的兩大支柱，數(shù)學(xué)知識(shí)是思想方法的載體，數(shù)學(xué)思想方法是從數(shù)學(xué)內(nèi)容中抽象概括出來的，是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)解題的靈魂，而數(shù)學(xué)方法則使數(shù)學(xué)方法得以具體落實(shí)，二者相互依存。是初中代數(shù)、幾何中的概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理以及由其內(nèi)容反映出來的數(shù)學(xué)思想和方法。”這就要求我們?cè)跀?shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)的同時(shí)，必須注意數(shù)學(xué)思想方法的有機(jī)滲透和統(tǒng)帥作用。只有這樣.才能有助于學(xué)生形成一個(gè)既有肉體又有靈魂的活的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展，推動(dòng)學(xué)生思維一般品質(zhì)乃至整個(gè)素質(zhì)的全面提高。下面就數(shù)形結(jié)合、分類討論、整體變換、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)、方程等數(shù)學(xué)思想進(jìn)行探討。
一、數(shù)形結(jié)合思想
數(shù)形結(jié)合思想指將數(shù)量與圖形結(jié)合起來，對(duì)題目中的給定的題設(shè)和結(jié)論既進(jìn)行代數(shù)方面的分析，又從幾何含義方面進(jìn)行分析，將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維與形象思維相結(jié)合，也可以使圖形的性質(zhì)通過數(shù)量之間的計(jì)算與分析，達(dá)到更加完整、嚴(yán)密和準(zhǔn)確。
在解決數(shù)學(xué)問題的過程時(shí)要善于由形思數(shù)，由數(shù)思形，數(shù)形結(jié)合，通過數(shù)量與圖形的轉(zhuǎn)化，把數(shù)的問題利用圖形直觀的表示出來，力圖找到解題思路。數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要方法，通常與平面直角坐標(biāo)系，數(shù)軸及其他數(shù)學(xué)概念同時(shí)使用。
二、分類討論思想
在解答某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，有時(shí)會(huì)有多種情況，對(duì)各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合求解，這就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法，也是一種數(shù)學(xué)思想。有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性，所以在試題中占有重要的位置。教材中進(jìn)行分類的實(shí)例比較多，如有理數(shù)、實(shí)數(shù)、三角形、四邊形等分類的教學(xué)不僅可以使學(xué)生明確分類的重要性：一是使有關(guān)的概念系統(tǒng)化、完整化；二是使被分概念的外延更清楚、更深刻、更具體，并且還能使學(xué)生掌握分?jǐn)?shù)的要點(diǎn)方法：（1）分類是按一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行的，分類的標(biāo)準(zhǔn)不同，分類的結(jié)果也不相同；（2）要注意分類的結(jié)果既無遺漏，也不能交叉重復(fù)；（3）分類要逐級(jí)逐次地進(jìn)行，不能越級(jí)化分。
例如：對(duì)|a|要去掉絕對(duì)值符號(hào)，應(yīng)討論絕對(duì)值內(nèi)部式子的符號(hào)，要分三種情況去掉絕對(duì)值符號(hào)。幾何中也存在著一些數(shù)學(xué)和位置關(guān)系的分類討論。
三、整體變換思想
整體思想就是考慮數(shù)學(xué)問題時(shí)，不是著眼于它的局部特征，而是把注意和和著眼點(diǎn)放在問題的整體結(jié)構(gòu)上，通過對(duì)其全面深刻的觀察，從宏觀整體上認(rèn)識(shí)問題的實(shí)質(zhì)，把一些彼此獨(dú)立但實(shí)質(zhì)上又相互緊密聯(lián)系著的量作為整體來處理的思想方法。而整體變換思想是指將復(fù)雜的代數(shù)式或幾何圖形中的一部分看作一個(gè)整體進(jìn)行變換，使問題簡(jiǎn)單化。
例如、已知x+y=7且xy=12，則當(dāng)x
本題考查了運(yùn)用整體思想進(jìn)行等式變形的能力。是一個(gè)難得的好題。
四、轉(zhuǎn)化與化歸思想
轉(zhuǎn)化是將數(shù)學(xué)命題由一種形式向另一種形式的轉(zhuǎn)換過程，化歸是把待解決的問題通過某種轉(zhuǎn)化過程歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或比較容易解決的問題。轉(zhuǎn)化與化歸思想是中學(xué)數(shù)學(xué)最基本的思想方法。
轉(zhuǎn)化與化歸思想是指根據(jù)已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)，通過觀察、聯(lián)想、類比等手段，把問題進(jìn)行變換，轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決或容易解決的問題。如二元一次方程組，三元一次方程組的解決實(shí)質(zhì)就是化為解已經(jīng)學(xué)過的一元一次方程。如果把若干個(gè)人之間握手總次數(shù)（單握）稱為“握手問題”，那么像無三點(diǎn)共線的n個(gè)點(diǎn)之間連線；共端點(diǎn)射線夾角（小于平角的角）個(gè)數(shù)；一條線段上有若干個(gè)點(diǎn)形成的線段的條數(shù)；足球隊(duì)之間單個(gè)循環(huán)比賽場(chǎng)次都可轉(zhuǎn)化為“握手問題”。
五、方程思想
所謂方程思想就是從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手，適當(dāng)設(shè)定未知數(shù)，運(yùn)用定義、公式、性質(zhì)、定理和已知條件、隱含條件，把所研究的數(shù)學(xué)問題中的已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為方程或方程組等數(shù)學(xué)模型，從而使問題得到解決的思維方法，方程思想對(duì)解決與等量有關(guān)的數(shù)學(xué)問題十分有效。它是數(shù)學(xué)大廈的基石，是溝通已知和未知的橋梁。
例如：如果兩個(gè)圓的一條外公切線長(zhǎng)等于5，另一條外公切線長(zhǎng)等于2a+3，那么a=
解：本題考查了圓的兩條外公切線長(zhǎng)一定相等這一性質(zhì)。根據(jù)這一性質(zhì)可知：2a+3=5，解得：a=1。
本題由圓的兩條外公切線長(zhǎng)相等作為構(gòu)造方程的依據(jù)，從而利用方程思想達(dá)到解題的目的。
六、函數(shù)思想
函數(shù)思想是指變量與變量之間的一種對(duì)應(yīng)思想。當(dāng)函數(shù)值為零時(shí)，函數(shù)問題就轉(zhuǎn)化為方程問題。同樣也可以把方程視為函數(shù)值為零時(shí)，求自變量的問題。
例如：某工程隊(duì)要招聘甲、乙兩種工種的工人700人，甲、乙兩種工種的工人的月工資分別為800元和1200元，現(xiàn)要求乙種工種的工人數(shù)不少于甲種工種人數(shù)的3倍，問甲、乙兩種工種各招聘多少人時(shí)，可使得每月所付的工資最少？
分類討論的數(shù)學(xué)思想方法范文6
目前在一些中小學(xué)教師中,對(duì)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)缺乏意識(shí)性是一個(gè)普遍存在的問題。主要表現(xiàn)在:(1)制訂教學(xué)目的時(shí)對(duì)具體知識(shí)技能訓(xùn)練重難點(diǎn)的教學(xué)要求比較明確,而忽視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)要求。(2)教學(xué)時(shí),往往注重知識(shí)結(jié)論的傳授,而忽視知識(shí)形成過程中數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練,知識(shí)應(yīng)用時(shí),往往偏重于就題論題,忽視數(shù)學(xué)思想方法的揭示與提煉。(3)小結(jié)復(fù)習(xí)時(shí),只注重知識(shí)體系、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的整理,忽視數(shù)學(xué)思想方法的歸納與提高。凡此種種,致使數(shù)學(xué)教學(xué)停留在較低的層次上。
數(shù)學(xué)教學(xué)的目的不僅要求學(xué)生掌握好數(shù)學(xué)的基本知識(shí)和基本技能,還要求發(fā)展學(xué)生的能力,培養(yǎng)他們良好的個(gè)性品質(zhì)和學(xué)習(xí)習(xí)慣。從根本上說,就是要求全面地提高學(xué)生的素質(zhì)。在實(shí)現(xiàn)教學(xué)目的的過程中,數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)起著極為重要的作用。它是學(xué)生形成良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的紐帶,是由知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁,是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)意識(shí)(觀念)、形成優(yōu)良思維素質(zhì)的關(guān)鍵。因此,加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué),是深化數(shù)學(xué)教學(xué)改革的突破口。
良好的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)不完全取決于教材內(nèi)容和知識(shí)點(diǎn)的數(shù)量,更應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系、結(jié)合和組織方式,把握結(jié)構(gòu)的層次和程序展開后所表現(xiàn)的內(nèi)在規(guī)律。數(shù)學(xué)思想方法能夠優(yōu)化這種組織方式,使各部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)融合成有機(jī)的整體,發(fā)揮其重要的指導(dǎo)作用。因此,新課標(biāo)明確提出開展數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)要求,旨在引導(dǎo)學(xué)生去把握數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的核心和靈魂,其重要意義顯而易見。提高數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的意識(shí)性可從如下三方面著手:
一、在確定教學(xué)目的、實(shí)施教學(xué)過程、落實(shí)教學(xué)效果中,有意識(shí)地體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法
加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué),首先要有意識(shí)地從教學(xué)目的的確定,教學(xué)過程的實(shí)施,教學(xué)效果的落實(shí)等各個(gè)方面體現(xiàn)。使每節(jié)課的教學(xué)目的和教育目的獲得和諧的統(tǒng)一。在備課時(shí)必須把數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)從鉆研教材內(nèi)涵中加以挖掘。從教學(xué)思想方法的高度,深入研究分析教材,通過概念、公式、定理等的教學(xué),滲透教學(xué)思想方法的內(nèi)容。還要通過學(xué)生相互討論、師生交流等使學(xué)生從數(shù)學(xué)思想方法的高度把握知識(shí)的本質(zhì)和內(nèi)在的規(guī)律。
應(yīng)充分利用數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)原型作為反映數(shù)學(xué)思想方法的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)思想方法是對(duì)數(shù)學(xué)問題解決或構(gòu)建所做的整體性考慮,它來源于現(xiàn)實(shí)原型又高于現(xiàn)實(shí)原型,往往借助現(xiàn)實(shí)原型使數(shù)學(xué)思想方法得以生動(dòng)地表現(xiàn),有利于對(duì)其深入理解和把握。例如:分類討論的思想方法始終貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)中。在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所討論的對(duì)象進(jìn)行合理分類(分類時(shí)要做到不重復(fù)、不遺漏、標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、分層不越級(jí)),然后逐類討論(即對(duì)各類問題詳細(xì)討論、逐步解決),最后歸納總結(jié)。教師要幫助學(xué)生掌握好分類的方法原則,形成分類思想。
二、突破重點(diǎn)、難點(diǎn)中,有意識(shí)地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法
三、在小結(jié)、復(fù)習(xí)中,有意識(shí)地畫龍點(diǎn)睛,適時(shí)點(diǎn)撥
在課堂小結(jié)、單元復(fù)習(xí)時(shí),適時(shí)地對(duì)某種數(shù)學(xué)思想方法的關(guān)鍵點(diǎn)或要素進(jìn)行概括、強(qiáng)化和揭示,對(duì)它的名稱、內(nèi)容、規(guī)律、運(yùn)用等有意識(shí)地適度點(diǎn)撥,不僅可以使學(xué)生從數(shù)學(xué)思想方法的高度把握知識(shí)的本質(zhì)和內(nèi)在的規(guī)律,而且可使學(xué)生逐步體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法的精神實(shí)質(zhì)。如在學(xué)習(xí)《四邊形》這章時(shí),梯形常用的輔助線作法有:(1)作高;(2)延長(zhǎng)兩腰交于一點(diǎn);(3)平移一腰;(4)平移一對(duì)角線。如在求多邊形的面積中常用的方法是“拆”或是“補(bǔ)”,“拆”是把多邊形拆成常見的四邊形或是三角形,“補(bǔ)”則是延長(zhǎng)某些邊使之出現(xiàn)常見的圖形再來求解。
要引導(dǎo)學(xué)生把握知識(shí)的整體結(jié)構(gòu),形成合理的數(shù)學(xué)模型,通過綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法,融會(huì)貫通各知識(shí)點(diǎn)和單元,建立一個(gè)以范例和習(xí)題為中心的知識(shí)網(wǎng)絡(luò),縱向加深知識(shí)層次,橫向聯(lián)系以發(fā)展思維能力,形成全局性的數(shù)學(xué)思想方法。
綜上所述,加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué),教師首先要更新教學(xué)觀點(diǎn),落實(shí)對(duì)數(shù)學(xué)思想方法重要性的認(rèn)識(shí),提高數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的意識(shí)性,增加主動(dòng)性和自覺性。
參考文獻(xiàn):
