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函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的主要研究對(duì)象，貫穿于初等教育、中等教育和高等教育各個(gè)階段，在各種類型的教育教學(xué)過程中，函數(shù)都是最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)概念之一，但大多數(shù)學(xué)生卻不甚理解函數(shù)這個(gè)概念的內(nèi)涵，常常是知其然，不知其所以然．請(qǐng)看下述三例:   例1設(shè){fn(x)}是定義在R上的函數(shù)列，則建立如下映射，g:{fn(x)}→N，fn(x)∣→n，即n=g(fn(x))，該映射是函數(shù)嗎?為什么?   例2設(shè)2003數(shù)本班全體學(xué)生構(gòu)成集合A={s1，s2，…，sn}，集合B={(姓名，性別，籍貫，出生日期，政治面貌)}，則建立如下映射，h:A→B，學(xué)生∣→(姓名，性別，籍貫，出生日期，政治面貌)，該映射是函數(shù)嗎?為什么?   例3f={(x，y)∣x∈R，y=cosx∈［－1，1］}?R×R={(x，y)∣x∈R，y∈R}，試問:f是函數(shù)嗎?為什么?   下面，本人對(duì)函數(shù)概念進(jìn)行整理和注解，希望對(duì)學(xué)生有所幫助，同時(shí)，權(quán)作同行交流探討．   一、函數(shù)概念的介紹   1．產(chǎn)生階段   16世紀(jì)，隨著自然科學(xué)對(duì)物體運(yùn)動(dòng)研究的深入開展，尤其是對(duì)各種變化過程和各種變化著的量之間的依賴關(guān)系的研究，促使數(shù)學(xué)學(xué)科產(chǎn)生了變量和函數(shù)的概念．從這個(gè)意義上來講，函數(shù)概念來源于現(xiàn)實(shí)生活，產(chǎn)生在人們對(duì)自然現(xiàn)象的不斷探索過程之中，所以對(duì)函數(shù)概念的理解和把握，要充分尊重它的現(xiàn)實(shí)意義和實(shí)際應(yīng)用．   2．發(fā)展階段   (1)原始概念．“函數(shù)”這個(gè)數(shù)學(xué)術(shù)語首先是由德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲提出來的，他定義的函數(shù)的含義是指關(guān)于曲線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)以及一些線段(如弦、切線、法線等)的長(zhǎng)度．根據(jù)此函數(shù)定義，坐標(biāo)、弦長(zhǎng)和切線都是函數(shù)!顯然非常模糊，且不具體，與我們現(xiàn)行的函數(shù)定義相差甚遠(yuǎn)．   (2)第一次擴(kuò)張．1748年，數(shù)學(xué)家歐拉將函數(shù)定義為:“變量的函數(shù)是一個(gè)解析表達(dá)式，它是由這個(gè)變量和一些常量以任何方式組成的．”1775年，歐拉又給出了函數(shù)的另一種定義:“如果某些變量，以這樣一種方式依賴另一些變量，即當(dāng)后面這些變量變化時(shí)，前面這些變量也隨之而變化，那么前面變量稱為后面變量的函數(shù)．”上述歐拉給出的函數(shù)的兩個(gè)定義稱之為解析的函數(shù)概念．例如x2+x+1，(x－2)2+y2，等等，這與現(xiàn)行的函數(shù)定義相差不多了，只要稍作修改為f(x)=x2+x+1;f(x，y)=(x－2)2+y2即可．見上述例1、例2、例3．   (3)第二次擴(kuò)張．歐拉在提出解析的函數(shù)概念的同時(shí)，給出了圖像的函數(shù)概念:“在xOy平面上任意畫出的曲線所確定了的x，y之間的關(guān)系．”   (4)第三次擴(kuò)張．1837年，德國(guó)數(shù)學(xué)家狄里赫萊進(jìn)一步給出了函數(shù)的定義:“對(duì)于在某區(qū)間上的每一個(gè)確定的x值，y都有一個(gè)或多個(gè)確定的值與之對(duì)應(yīng)，那么y叫做x的函數(shù)．”黎曼也給出了類似的定義:“對(duì)于x的每一個(gè)值，y總有完全確定了的值與之對(duì)應(yīng)，而不拘建立x，y之間的對(duì)應(yīng)方法如何，均將y稱作是x的函數(shù)．”上述函數(shù)的兩個(gè)定義稱之為對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)概念．   (5)近、現(xiàn)代函數(shù)的定義．在近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，函數(shù)的概念又有了進(jìn)一步的發(fā)展，建立在“集合”和“對(duì)應(yīng)”這兩個(gè)基本概念的基礎(chǔ)之上，其定義為:集合到集合的單值對(duì)應(yīng)．即非空集合間的映射叫做函數(shù)．記作f:A→B，x∣→y，或y=f(x)，x∈A，集合A叫做函數(shù)的定義域，f叫做函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則，f(A)叫做函數(shù)的值域．   二、函數(shù)概念的注解   現(xiàn)行的初等教育、中等教育和高等教育的教材中，對(duì)函數(shù)概念的定義不外乎兩種，其一是變量的函數(shù)觀點(diǎn)，其定義為:“設(shè)在某變化過程中有兩個(gè)變量x和y，如果對(duì)于x在某一范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則，y都有唯一的確定的值和它對(duì)應(yīng)，那么就把y叫做x的函數(shù)，x叫做自變量．”這在中學(xué)數(shù)學(xué)課本中，非常普遍，也比較流行．其二是對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)，其定義為:“非空數(shù)集間的映射叫做函數(shù)．”但無論是哪一種定義，都比較狹隘，非常局限，會(huì)誤導(dǎo)學(xué)生，特別是對(duì)學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)造成隱患，有必要對(duì)其進(jìn)行探究和解釋說明．   1．修訂   對(duì)于定義“設(shè)在某變化過程中有兩個(gè)變量x和y，如果對(duì)于x在某一范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則，y都有唯一的確定的值和它對(duì)應(yīng)，那么就把y叫做x的函數(shù)，x叫做自變量．”把函數(shù)定義為變量，顯然與高等數(shù)學(xué)中映射的觀點(diǎn)不相符，給大學(xué)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)埋下了隱患．而定義“集合到集合的單值對(duì)應(yīng)．即非空集合間的映射叫做函數(shù)．”當(dāng)然也是有問題的．一是何謂單值?集合中的元素一定是“值”嗎?二是何謂單值對(duì)應(yīng)?把現(xiàn)行的初等教育、中等教育和高等教育的教材中函數(shù)概念定義為:“非空集合間的映射叫做函數(shù)．”記作f:A→B，x∣→y，或y=f(x)，x∈A，集合A叫做函數(shù)的定義域，f叫做函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則，f(A)叫做函數(shù)的值域．強(qiáng)調(diào)函數(shù)是集合間的一種關(guān)系，一種特殊的關(guān)系!這樣，既便于學(xué)生理解，又與今后數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不矛盾．   2．注釋說明   (1)當(dāng)A，B都是數(shù)集時(shí)，f就是現(xiàn)行各種教材中函數(shù)的定義．其中A，B可以是無限集，也可以是有限集．   例4y=f(x)=2x+3，x∈R．   (2)當(dāng)A，B不都是數(shù)集，或都不是數(shù)集時(shí)，f仍然是集合A到集合B的函數(shù)．請(qǐng)看下面的例子:   例5集合點(diǎn)名．叫“張三”，就有一個(gè)名字叫張三的人答應(yīng)(假設(shè)集合中名字叫張三的人唯一)，這就是名字集到人集的映射，當(dāng)然是函數(shù)，而且是非數(shù)集到非數(shù)集的函數(shù)!根據(jù)概率的定義，“隨機(jī)事件A發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)，稱為A發(fā)生的概率，記作P(A)．”其實(shí)質(zhì)是事件域T到無限集［0，1］的映射，是函數(shù)!因而才有概率的公理化定義:“概率是定義在事件域T上的一個(gè)非負(fù)的、規(guī)范的、可列可加的集函數(shù)．”#p#分頁(yè)標(biāo)題#e#   例6拋擲兩枚完全一樣的硬幣，觀察其正面(國(guó)徽)朝上的情況，結(jié)果有且只有四種情況:正正，反反，正反，反正，分別用A，B，C，D表示，由概率論的知識(shí)可知，P(A)=P(B)=P(C)=P(D)=14．這樣就建立基本事件集合F到數(shù)集B=1{}4的一個(gè)函數(shù)關(guān)系．   (3)對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)的定義．在上述“修訂”中，函數(shù)的概念比較容易理解，但其中涉及“對(duì)應(yīng)”這個(gè)基本概念，何為“對(duì)應(yīng)”?不明確，不具體，為了避免之，下面給出關(guān)系的函數(shù)概念:“設(shè)f是集合X與集合Y的關(guān)系，即f?X×Y={(x，y)∣x∈X，y∈Y}，若(x1，y1)∈f，(x1，y2)∈f，則y1=y2，那么稱f是集合X到集合Y的函數(shù)．”比較難理解!由此定義可知，函數(shù)是直積X×Y的一個(gè)子集合，是一個(gè)集合!你想象得到嗎?請(qǐng)看下例:   例7f={(x，y)∣x∈R，y=cosx∈［－1，1］}?R×R={(x，y)∣x∈R，y∈R}，即是我們常見的余弦函數(shù)y=cosx，x∈R．   3．函數(shù)亞悖論   由上述(3)中關(guān)系的函數(shù)的定義可知，第一，函數(shù)其實(shí)是一個(gè)集合!而函數(shù)是集合間的一種特殊關(guān)系，這顯然是矛盾的．第二，既然函數(shù)是一個(gè)集合f，那么就可以定義所有函數(shù)構(gòu)成的集合———函數(shù)集A，也可以定義一個(gè)在A上的函數(shù)，即定義在函數(shù)上的函數(shù)!這顯然也是矛盾的，不符合邏輯．雷同于集合的羅素悖論，這是一個(gè)函數(shù)悖論，我們就把它稱之為函數(shù)亞悖論．請(qǐng)看下面兩例:   例8g:f→D，其中f同上，D={滿射，單射}．h:f→D，其中f是所有函數(shù)構(gòu)成的集合，D={滿射，單射}．顯然，g，h也是函數(shù)，當(dāng)然有h∈D，而這是羅素悖論的一個(gè)翻版!我們姑且說是函數(shù)概念的亞悖論．   例9已知集合A={1，2，3}，則集合A的子集集合為F={?，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}}，我們可以建立F到集合A的子集的基數(shù)集合{0，1，2，3}的一個(gè)關(guān)系，且也是函數(shù)關(guān)系．   顯然，這是集合集到非空數(shù)集間的函數(shù)關(guān)系!超出了函數(shù)定義的范疇，所以，類似于羅素悖論的處理辦法，我們不討論定義在所有函數(shù)構(gòu)成的集合上的函數(shù).